Hur lång är sidan

•

Omkrets

För att ta reda på omkretsen behöver vi veta måtten av figurens sidor. Måtten får vi genom att mäta i figuren med vår linjal. Vi mäter alltså varje sida, och så fort vi är färdiga med en sida skriver vi upp måttet bredvid sidan. Sedan adderar (plussar) vi längderna av alla sidor, vilket ger oss omkretsen.

I vissa fall anges dock figurens mått i uppgiften. Då behöver vi alltså inte mäta i figuren, utan vi adderar längderna direkt.

Så räknar du ut omkretsen

Låt oss säga att vi vill mäta omkretsen av följande triangel. Vi ska svara i centimeter (cm).

Det finns inga utritade mått i figuren och därför vet vi att vi ska mäta sidorna själva. Vi mäter längden av sidorna och får:

För att räkna ut omkretsen adderar vi längden av alla sidor.

3+4+5=12\;cm

Vi får att triangelns omkrets är 12 cm.

Ofta när vi vill räkna ut omkretsen av en rektangel är endast två sidor utmarkerade i uppgiften. Det är då viktigt att komma ihåg att motsatta sidor alltid har samma län

•

Pythagoras sats

En av de mest kända matematiska satserna är den så kallade Pythagoras sats, som ger oss ett samband mellan en rätvinklig triangels tre sidor. Detta är en sats som man kan få användning av i väldigt många olika sammanhang.

Pythagoras sats

En rätvinklig triangel består av två kortare sidor, som vi kallar kateter, och en längre sida, som vi kallar hypotenusa. De två kateterna möts i en rät vinkel (alltså $90°$) och hypotenusan är motstående till den räta vinkeln. I figuren nedan ser du en typisk rätvinklig triangel, med kateterna och hypotenusan markerade:

I varje rätvinklig triangel råder, enligt Pythagoras sats, följande samband mellan längden på triangelns sidor:

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

där $a$ och $b$ är längderna på kateterna, och $c$ är längden på hypotenusan. Summan av kateternas kvadrater är alltså lika med hypotenusan i kvadrat.

I rutan nedan har en rätvinklig triangel ritats ut. Se även att tre kvadrater har ritats ut, en för varje sida

•

Hur lång var kvadratens sida?

En kvadrats sida fördubblas och då ökar arean med $75\, m^2$. Hur lång var kvadratens sida innan fördubblingen?

Lösning:

Låt oss kalla den ursprungliga längden av kvadratens sida för $x$. Vi kallar arean innan sidan fördubblades för $A_{före}$. I uppgiften får vi veta att den nya arean är $75\, m^2$ större än den gamla arean och att sidlängden fördubblas, så om $x$ är den gamla sidolängden så är $2x$ den nya sidolängden. Areorna för de båda kvadraterna fås då av $x^2$ samt $(2x)^2$. Med hjälp av denna info kan vi skriva upp uttryck för hur man beräknar både den gamla arean och den nya:

Gammal area: $x^2=A_{före}$

Ny area: $(2x)^2 =A_{före} + 75$

Då den gamla arean kan skrivas som $x^2$ så kan vi ersätta $A_{före}$ med $x^2$ i ekvationen som visar hur man beräknar den ny arean. Då får vi följande ekvation:

$$(2x)^2=x^2+75$$

Vi beräknar den ekvationen för att få ut hur lång sidan var på den ursprunglig